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PROPOSICIONES (I-47) LIBRO X 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15
Proposición 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que la de su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada. Proposición 2. Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la que queda nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables. Proposición 3. Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima. Proposición 4. Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima. Proposición 5. Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número. Proposición 6. Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán conmensurables. Proposición 7. Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número. Proposición 8. Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables. Proposición 9. Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud. Proposición 10. Hallar dos rectas conmensurables, una sólo en longitud, la otra también en cuadrado, con una recta determinada. Proposición 11. Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta. Proposición 12. Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí. Proposición 13. Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es incommensurable con una otra magnitud cualquiera, también la que queda será incommensurable con ella. Proposición 14. Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta commensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta commensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta incommensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta incommensurable con la tercera. Proposición 15. Si se suman dos magnitudes conmensurables, la magnitud total también será commensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es commensurable con cadauna de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables. Proposición 16. Si se suman dos magnitudes inconmensurables , la magnitud total será incommensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es incommensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables. Proposición 17. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta partee del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor. Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables en longitud. Proposición 18. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor.Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes inconmensurables. Proposición 19. El rectángulo contenido por rectas expresables conmensurables en longitud, según alguna de las formas antes descritas, es expresable. Proposición 20. Si se aplica un área expresable a una recta expresable, produce como anchura una recta expresable y commensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado. Proposición 21. El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado no es racionalmente expresable y el lado del cuadrado igual a él tampoco es racionalmente expresable, se le llama a este último medial. Proposición 22. El cuadrado de una recta medial, si se aplica a una recta expresable, produce una anchura expresable y incommensurable en longitud con aquella a la que se aplica. Proposición 23. La recta commensurable con una recta medial es medial. Proposición 24. El rectángulo contenido por rectas mediales conmensurables en longitud según alguna de las formas descritas, és medial. Proposición 25. El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado o bien es expresable o bien es medial. Proposición 26. Un área medial no excede a otra medial en un área expresable. Proposición 27. Hallar rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable. Proposición 28. Hallar rectas mediales proporcionales sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial. Proposición 29. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor. Proposición 30. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable en longitud con la mayor. Proposición 31. Hallar dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor. Proposición 32. Hallarr dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor. Proposición 33. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea medial. Proposición 34. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea expresable. Proposición 35. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, y que el rectángulo comprendido por ellas sea medial y además incommensurable con la suma de sus cuadrados. Proposición 36. Si se suman dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera no es expresable; se la llama binomial. Proposición 37. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, la recta entera no es expresable; se la llama primera bimedial. Proposición 38. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, la recta entera no es expresable; se la llama segunda bimedial. Proposición 39. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta entera no es expresable; se la llama mayor. Proposición 40. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial. Proposición 41. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas también medial y incommensurable ademá con la suma de sus cuadrados, entonces la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales. Proposición 42. La recta binomial se divide en sus términos por un sólo punto. Proposición 43. La recta primera bimedial se divide por un sólo punto. Proposición 44. La recta segunda bimedial se divide por un sólo punto. Proposición 45. La recta mayor se divide por uno y el mismo punto Proposición 46. El lado del cuadrado equivalent a un área expresable más un área medial se divide sólo por un punto. Proposición 47. El lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales se divide por un sólo punto. |
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