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PROPOSICIONES LIBRO XI 1 - 2
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Proposición 1. No es posible que una parte de una línea recta esté contenida en el plano de referencia y otra parte de la recta en un plano más elevado. Proposición 2. Si dos rectas se cortan una a otra están en el mismo plano, y todo triángulo está en un plano. Proposición 3. Si dos planos se cortan uno a otro su intersección común es una línea recta. Proposición 4. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan una a otra en su intersección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas. Proposición 5. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan en su intersección común, las tres rectas están contenidas en el mismo plano. Proposición 6. Si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas son paralelas. Proposición 7. Si dos rectas son paralelas y se toman unos puntos al azar en cada una de ellas, la recta que une los puntos está contenida en el mismo plano que las paralelas. Proposición 8. Si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la recta que queda formará también ángulos rectos con el mismo plano. Proposición 9. Las paralelas a una misma recta y que no están contenidas en el mismo plano que la recta son también paralelas entre sí. Proposición 10. Si dos rectas que se tocan son paralelas a otras dos rectas que se tocan, sin estar en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales. Proposición 11. Trazar una línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto dado elevado. Proposición 12. Levantar una línea recta formando ángulos rectos con un plano dado desde un punto dado y contenido en el plano. Proposición 13. No se pueden levantar por el mismo lado dos rectas formando ángulos rectos con el mismo plano desde el mismo punto. Proposición 14. Los planos con los que una misma recta forma ángulos rectos serán paralelos. Proposición 15. Si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos. Proposición 16. Si dos planos paralelos son cortados por un plano, les intersecciones comunes son paralelas. Proposición 17. Si dos rectas son cortadas por planos paralelos, serán cortadas en las mismas razones. Proposición 18. Si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasen a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano. Proposición 19. Si dos planos que es cortan forman ángulos rectos con un plano, la intersección común formará también ángulos rectos con el mismo plano. Proposición 20. Si un ángulo sólido es comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera, tomados juntos de cualquier manera, son mayores que el restante. Proposición 21. Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos. Proposición 22. Si hay tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, y los comprenden rectas iguales, es posible construir un triángulo a partir de las rectas que unen los extremos de las rectas iguales. Proposición 23. Construir un ángulo sólido a partir de tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante; entonces, es necesario que los tres ángulos sean menores que cuatro rectos. Proposición 24. Si un sólido es comprendido por planos paralelos, sus planos opuestos son iguales y paralelogramos. Proposición 25. Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, de la misma manera que la base es a la base, así el sólido es al sólido. Proposición 26. Construir un ángulo sólido igual a un ángulo sólido dado sobre una recta dada y en uno de sus puntos. Proposición 27. Trazar sobre una recta dada un sólido paralelepípedo semejante y situado de manera semejante a un sólido paralelepípedo dado. Proposición 28. Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano según las diagonales de los planos opuestos, el sólido será dividido en dos partes iguales por el plano. Proposición 29. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura, y en los que los extremos superiores de las aristas laterales están en las mismas rectas son iguales entre sí. Proposición 30. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura y en los que los extremos superiores de las aristas laterales no están en las mismas rectas son iguales entre sí. Proposición 31. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura son iguales entre sí. Proposición 32. Los sólidos paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases. Proposición 33. Los sólidos paralelepípedos semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes. Proposición 34. Las bases de los sólidos paralelepípedos iguales están inversamente relacionadas con las alturas; y aquellos sólidos paralelepípedos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales. Proposición 35. Si hay dos ángulos planos iguales y se levantan desde sus vértices rectas elevadas que comprendan ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, y se toman unos puntos al azar en las rectas elevadas y, desde estos puntos se dibujan perpendiculares a los planos en los que están los ángulos iniciales y se trazan rectas de los puntos producidos en los planos hasta los vértices de los ángulos iniciales, estos ángulos comprenderán con las rectas elevadas ángulos iguales. Proposición 36. Si tres rectas son proporcionales, el sólido paralelepípedo construido a partir de ellas es igual al sólido paralelepípedo construido a partir de la media proporcional, equilátero y equiangular con el sólido nombrado. Proposición 37. Si cuatro rectas son proporcionales, los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, también las propias rectas serán proporcionales. Proposición 38. Si los lados de los planos opuestos de un cubo se dividen en dos partes iguales y se trazan planos a través de las secciones, la intersección común de los planos y el diámetro del cubo se dividen mutuamente en dos partes iguales. Proposición 39. Si dos prismas tienen la misma altura y uno tiene como base un paralelogramo y el otro un triángulo y el paralelogramo es el doble del triángulo, los prismas serán iguales. |
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