Sea un cono con la misma base, el círculo ABCD de un cilindro
y de igual altura.
Yo digo que el cono es una tercera parte del cilindro, es decir,
que el cilindro es el triple del cono.
Porque si el cilindro no es el triple del cono, entonces el cilindro
será o bien mayor o bien menor que el triple del cono.
Sea primero, mayor que el triple.
Inscríbase el cuadrado ABCD en el círculo ABCD. Entonces
el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD.
Desde el cuadrado ABCD levántese un prisma de igual altura
que el cilindro. [IV 6].
Entonces el prisma levantado es mayor que la mitad del cilindro,
porque si circunscribimos un cuadrado en el círculo ABCD,
el cuadrado inscrito en el círculo ABCD es la mitad del circunscrito,
y los sólidos levantados a partir de ellos son prismas paralepípedos
de igual altura, ya que los sólidos paralepípedos
de igual altura son uno a otro como sus bases, entonces también
el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD es la mitad del prisma
levantado desde el cuadrado circunscrito en el círculo ABCD,
entonces el prisma levantado a partir del cuadrado ABCD y de igual
altura que el cilindro es mayor que la mitad del cilindro. [IV 7]
[XI 32] [XI 28 or XII 6] [XII 7 Cor.].
Biseccionar las circunferencias AB, BC, CD y DA por los puntos E,
F, G y H y trazar AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces cada
triángulo AEB, BFC, CGD y DHA es mayor que la mitad del segmento
del círculo ABCD en el que está, como hemos demostrado
anteriormente. [XII 2].
En cada uno de los triángulos AEB, BFC, CGD y DHA levántense
prismas de igual altura que el cilindro. Entonces cada uno de los
prismas levantados es mayor que la mitad del segmento del cilindro
en el que está, porque si dibujamos por los puntos E, G,
G y H paralelas a AB, BC, CD y DA, completamos los paralelogramos
en AB, BC, CD y DA, y levantamos a partir de ellos sólidos
paralepípedos de igual altura que el cilindro, entonces los
prismas sobre los triángulos AEB, BFC, CGD y DHA son la mitad
de cada uno de los sólidos levantados, y los segmentos del
cilindro son menores que los sólidos paralepípedos
levantados, por lo tanto también los prismas sobre los triángulos
AEB, BFC, CGD y DHA son mayores que la mitad de los segmentos del
cilindro en el que están. [I 31].
Así pues, biseccionamos las circunferencias que quedan, trazamos
líneas rectas, uniendo cada uno de los prismas triangulares
con el cilindro, y lo hacemos repetidamente, dejaremos algunos segmentos
del cilindro que son menores que el exceso con el que el cilindro
excede el triple al cono. [X 1].
Dejemos los segmentos, y sean AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces
el prisma restante con base poligonal AEBFCGDH y la misma altura
que el cilindro es triple de la pirámide con base poligonal
AEBFCGDH y el mismo vértice del cono. Por lo tanto la pirámide
con base poligonal AEBFCGDH y mismo vértice que el cono es
mayor que el cono con base circular ABCD. [XII 7 Cor.].
Pero también es menor porque está incluída
en él, lo cuál es imposible.
Por lo tanto el cilindro no es mayor que el triple del cono.
Yo digo ahora que en ningún caso el cilindro es menor que
el triple del cono.
Porque si fuera posible el cilindro sería menor que el triple
del cono. Entonces, por inversión, el cono es mayor que la
tercera parte del cilindro.
Inscríbase el cuadrado ABCD en el círculo ABCD. Entonces
el cuadrado ABCD es mayor que la mitad del círculo ABCD.
[IV 6].
Ahora levántese desde el cuadrado ABCD una pirámide
con el mismo vértice que el cono. Entonces la pirámide
levantada es mayor que la mitad del cono, porque, como hemos demostrado
antes, si circunscribimos un cuadrado en un círculo, como
el cuadrado ABCD es la mitad del cuadrado circunscrito, y si levantamos
desde el cuadrado sólidos paralepípedos de igual altura
que el cono, que también llamamos prismas, entonces el sólido
levantado desde el cuadrado ABCD es la mitad que el levantado desde
el cuadrado circunscrito en el círculo, porque son uno a
otro como sus bases. [XI 32].
De este modo los tercios están también en la misma
razón. Por lo tanto la pirámide con base el cuadrado
ABCD es la mitad de la pirámide levantada a partir del cuadrado
circunscrito en el círculo.
Y la pirámide levantada a partir del cuadrado alrededor del
círculo es mayor que el cono, porque ésta lo incluye
Por lo tanto la pirámide con base el cuadrado ABCD y el mismo
vértice que el cono es mayor que la mitad del cono.
Biseccionamos las circunferencias AB, BC, CD y DA por los puntos
E, F, G y H y trazamos AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH y HA. Entonces
cada triángulo AEB, BFC, CGD y DHA es mayor que la mitad
del segmento del círculo ABCD en el que está.
Ahora, en cada triángulo AEB, BFC, CGD y DHA levantamos pirámides
con el mismo vértice que el cono. Entonces cada pirámide
levantada de la misma manera es mayor que la mitad del segmento
del cono en el que está.
Así pues, biseccionando las circunferencias que quedan, trazando
líneas rectas, levantando pirámides en cada triángulo
con el mismo vértice que el cono, y haciendo esto repetidamente,
dejaremos algunos segmentos del cono que serán menores que
el exceso con que el cono excede la tercera parte del cilindro.
[X 1].
Dejamos éstos, y sean los segmentos AE, EB, BF, FC, CG, GD,
DH y HA. Entonces la pirámide restante con base poligonal
AEBFCGDH y el mismo vértice que el cono, es mayor que la
tercera parte del cilindro.
Pero la pirámide con base poligonal AEBFCGDH y el mismo vértice
que el cono es la tercera parte del prisma con base poligonal AEBFCGDH
y la misma altura que el cilindro, entonces el prisma con base poligonal
AEBFCGDH y la misma altura que el cilindro es mayor que el cilindro
de base circular ABCD.
Pero también es menor, porque lo incluye, lo cual es imposible.
Entonces el cilindro no es menor que el triple del cono.
Pero ha sido demostrado que tampoco es mayor que el triple. Entonces
el cilindro es el triple del cono, de modo que el cono es una tercera
parte del cilindro.
Por lo tanto, cualquier cono es la tercera parte de un cilindro
con la misma base e igual altura.
Q.E.D.
