Sean conos y cilindros semejantes, y sean los círculos ABCD
y EFGH sus bases, BD y FH los diámetros de sus bases, y KL
y MN los ejes de los conos y cilindros.
Yo digo que el cono de base circular ABCD y vértice L guarda
con el cono de base EFGH y vértice N una razón triplicada
de la que BD guarda con FH.
Porque, si el cono ABCDL no guarda con el cono EFGHN la razón
triplicada que BD guarda con FH, entonces el cono ABCDL guarda una
razón triplicada con un sólido menor que el cono EFGHN
o uno mayor.
Primero, guarde la razón triplicada con un sólido
menor O. Inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo
EFGH. Entonces el cuadrado EFGH es mayor que la mitad del círculo
EFGH. [IV 6].
Levántese ahora sobre el cuadrado EFGH una pirámide
con el mismo vértice que el cono. Entonces la pirámide
levantada es mayor que la mitad del cono. Biseccionar las circunferencias
EF, FG, GH y HE por los puntos P, Q, R y S y trazar EP, PF, FQ,
QG, GR, RH, HS y SE.
Entonces cada uno de los triángulos EPF, FQG, GRH y HSE es
también mayor que la mitad del segmento del círculo
EFGH en el que está.
Ahora levántese en cada uno de los triángulos EPF,
FQG, GRH y HSE una pirámide con el mismo vértice que
el cono.
Entonces cada una de las pirámides levantadas es también
mayor que la mitad del segmento del cono sobre el que está.
Así, biseccionamos las circunferencias restantes, trazamos
líneas rectas, levantamos sobre cada uno de los triángulos
pirámides con el mismo vértice que el cono, y lo hacemos
repetidamente, hasta dejar algunos segmentos del cono que son menores
que el exceso con el que el cono EFGHN excede al sólido O.
[X 1].
Dejamos éstos de lado, y sean los segmentos EP, PF, FQ, QG,
GR, RH, HS y SE. Entonces la pirámide restante con base poligonal
EPFQGRHS y vértice N, es mayor que el sólido O.
Ahora inscríbase en el círculo ABCD el polígono
ATBUCVDW semejante y situado de manera semejante que el polígono
EPFQGRHS, y levántese sobre el polígono ATBUCVDW una
pirámide con el mismo vértice que el cono.
Sea LBT uno de los triángulos que comprenden la pirámide
con base poligonal ATBUCVDW y vértice L, y sea NFP uno de
los triángulos que comprenden la pirámide con base
poligonal EPFQGRHS y vértice N. Trazar KT y MP. Ahora, dado
que el cono ABCDL es semejante al cono EFGHN, entonces BD es a FH
como el eje KL es al eje MN. [XI Def. 24].
Pero BD es a FH como BK es a FM, entonces BK es a FM como KL es
a MN. Y, por alternancia BK es a KL como FM es a MN. [V 16].
Y los lados son proporcionales a los ángulos iguales, a saber
los ángulos BKL y FMN, entonces el triángulo BKL es
semejante al triángulo FMN. [VI 6].
De nuevo, dado que BK es a KT como FM es a MP, y que tienen ángulos
iguales, a saber los ángulos BKT y FMP, porque cualquier
parte del ángulo BKT es de los cuatro ángulos rectos
del centro K, la misma parte que el ángulo FMP es de los
cuatro ángulos rectos del centro M. Entonces, dado que los
lados son proporcionales a los ángulos iguales, entonces
el triángulo BKT es semejante al triángulo FMP. [VI
6].
De nuevo, dado que ha sido demostrado que BK es a KL como FM es
a MN, mientras BK es igual a KT, y FM es igual a PM, entonces TK
es a KL como PM es a MN. Y los lados son proporcionales a los ángulos
iguales, a saber los ángulos TKL y PMN. porque son rectos,
entonces el triángulo LKT es semejante al triángulo
NMP. [VI 6].
Y dado que los triángulos LKB y NMF son semejantes, entonces
LB es a BK como NF es a FM. Y dado que los triángulos BKT
y FMP son semejantes, entonces KB es a BT como MF es a FP. Entonces,
ex aequali, LB es a BT como NF es a FP. [VI 6].
De nuevo, dado que los triángulos LTK y NPM son semejantes,
entonces LT es a TK como NP es a PM, y dado que los triángulos
TKB y PMF son semejantes, entonces KT es a TB como MP es a PF. Entonces,
ex aequali, LT es a TB como NP es a PF. [VI 6].
Pero ha sido demostrado que TB es a BL como PF es a FN. Entonces,
ex aequali, TL es a LB como PN es a NF. [V 22].
Entonces en los triángulos LTB y NPF los lados son proporcionales.
[VI 5]. Entonces los triángulos LTB y NPF son equiangulares,
dado que también son semejantes. [VI Def.1].
Entonces la pirámide con base triangular BKT y vértice
L es semejante a la pirámide con base triangular FMP y vértice
N, porque están comprendidas por planos similares iguales
en cantidad. [XI Def.9].
Pero las pirámides con base triangular guardan una con la
otra una razón triplicada de la que guardan sus correspondientes
lados. [XII 8].
Entonces la pirámide BKTL guarda con la pirámide FMPN
una razón triplicada de lo que BK guarda con FM.
De manera similar, trazando líneas rectas desde A, W, D,
V, C y U hasta K, y desde E, S, H, R, G y Q hasta M, y levantamos
sobre cada triángulo pirámides con el mismo vértice
que los conos, podemos demostrar que cada una de las pirámides
colocada de manera semejante guarda también con cada una
de las pirámides colocadas de manera semejante la razón
triplicada de lo que el lado correspondiente BK guarda con el lado
correspondiente FM, es decir, lo que BD guarda con FH.
Y uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes como todos
los antecedentes son a todos los consecuentes, entonces la pirámide
BKTL es a la pirámide FMPN como la pirámide entera
de base poligonal ATBUCVDW y vértice L es a la pirámide
entera EPFQGRHS con base poligonal y vértice N, dado que
la pirámide con base ATBUCVDW y vértice L guarda con
la pirámide de base poligonal EPFQGRHS y vértice N
la razón triplicada de lo que BD guarda con FH. [V 12].
Pero, por la hipótesis, el cono con base circular ABCD y
vértice L también guarda con el sólido O la
razón triplicada de lo que BD guarda con FH, entonces el
cono con base circular ABCD y vértice L es al sólido
O como la pirámide con base poligonal ATBUCVDW y vértice
L es a la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice
N. Entonces, por alternancia el cono con base circular ABCD y vértice
L es a la pirámide inscrita en él con la base poligonal
ATBUCVDW y vértice L como al sólido O es a la pirámide
con base poligonal EPFQGRHS y vértice N. [V 16].
Pero el cono nombrado es mayor que la pirámide inscrita en
él, porque la comprende. Entonces el sólido O es también
mayor que la pirámide con base poligonal EPFQGRHS y vértice
N. Pero también es menor, lo cual es imposible.
Entonces el cono con base circular ABCD y vértice L no guarda
con ningún sólido menor que el cono de base circular
EFGH y vértice N la razón triplicada de lo que BD
guarda con FH.
De igual manera podemos demostrar que tampoco el cono EFGHN guarda
con ningún sólido menor que el cono ABCDL la razón
triplicada de lo que FH guarda con BD.
Yo digo después que tampoco guarda el cono ABCDL con ningún
sólido mayor que el cono EFGHN la razón triplicada
de lo que BD guarda con FH.
Porque, si fuera posible, sea la razón a un sólido
mayor que O. Entonces, por inversión, el sólido O
guarda con el cono ABCDL la razón triplicada de lo que FH
guarda con BD. Pero el sólido O es al cono ABCDL como el
cono EFGHN es a un sólido menor que el cono ABCDL.
Entonces el cono EFGHN guarda también con un sólido
menor que el cono ABCDL la razón triplicada de lo que FH
guarda con BD, lo cual se ha demostrado como imposible.
Entonces el cono ABCDL no guarda con ningún sólido
mayor que el cono EFGHN la razón triplicada de lo que BD
guarda con FH.
Pero se ha demostrado que tampoco guarda la razón con ningún
sólido menor que el cono EFGHN. Entonces el cono ABCDL guarda
con el cono EFGHN la razón triplicada de lo que BD guarda
con FH.
Pero el cono es al cono como el cilindro es al cilindro, porque
el cilindro con la misma base que el cono y igual altura es triple
que el cono. Entonces el cilindro guarda también con el cilindro
la razón triplicada de lo que BD guarda con FH. [XII 10].
Por lo tanto, los conos y cilindros semejantes son uno al otro en
razón triplicada de los diámetros de sus bases.
Q.E.D.
