Proposición 13. Si un cilindro se corta por un
plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, el cilindro
es al cilindro como el eje es al eje.
Sea el cilindro AD cortado por el plano GH paralelo a los planos
opuestos AB y CD. Encuentre el plano GH al eje en el punto K.
Yo digo que el cilindro BG es al cilindro GD como el eje EK es al
eje KF.
Prolongar el eje EF en ambas direcciones hasta los puntos L y M.
Sea cualquier número de ejes EN y NL iguales al eje EK, y
cualquier número de ejes FO y OM iguales a FK.Construir el
cilindro PW sobre el eje LM con los círculos PQ y VW como
bases.
Llevar los planos a través de los puntos N y O paralelos
a AB y CD y hasta las bases del cilindro PQ, y sean hechos los círculos
RS y TU alrededor de los centros N y O.
Entonces, dado que los ejes LN, NE y EK son iguales uno al otro,
entonces los cilindros QR, RB y BG son el uno al otro como sus bases.
[XII 11].
Pero las bases son iguales, entonces los cilindros QR, RB y BG son
también iguales uno al otro.
Dado que los ejes LN, NE y EK son iguales el uno al otro, y los
cilindros QR, RB y BG son también iguales el uno al otro,
y el número de anteriores es igual al número de posteriores,
entonces, el múltiplo del eje KL es del eje EK lo mismo que
el cilindro QG es del cilindro GB.
Por la misma razón, el múltiplo del eje MK es del
eje KF lo mismo que el múltiplo del cilindro WG es del cilindro
GD.
Y, si el eje KL es igual al eje KM, entonces el cilindro QG es también
igual al cilindro GQ; si el eje es mayor que el eje, entonces el
cilindro también es mayor que el cilindro, y si es menor,
menor. Así, siendo cuatro magnitudes, los ejes EK y KF y
los cilindros BG y GD, se han tomado equimúltiplos del eje
EK y del cilindro BG, a saber, el eje LK y el cilindro QG, y equimúltiplos
del eje KF y del cilindro GD, a saber, los ejes KM y el cilindro
GQ, y se ha demostrado que, si el eje KL excede del eje KM, el cilindro
QG excede también del cilindro GW; si es igual, igual; y
si es menor, menor. Entonces el eje EK es al eje KF como el cilindro
BG es al cilindro GD. [V Def.5].
Por lo tanto, si un cilindro es cortado por un plano paralelo a
los planos opuestos, entonces el cilindro es al cilindro como el
eje es al eje.
Q.E.D.
