Sean las esferas ABC y DEF, y sean BC y EF sus diámetros.
Yo digo que la esfera ABC guarda con la esfera DEF una razón
triplicada de la que BC guarda con EF.
Porque, si la esfera ABC no guarda con la esfera DEF una razón
triplicada de la que BC guarda con EF, entonces la esfera ABC guarda
con cualquier esfera menor o mayor que la esfera DEF la razón
triplicada que BC guarda con EF.
Primero, guarde la razón a una esfera menor GHK.
Sea DEF alrededor del mismo centro que GHK. Inscríbase en
la esfera mayor DEF un sólido poliédrico que no toque
la superficie de la esfera menor GHK. [XII 17].
Inscríbase también en la esfera ABC un sólido
poliédrico semejante al sólido poliédrico de
la esfera DEF. Entonces el sólido poliédrico inscrito
en ABC guarda con el sólido poliédrico inscrito en
DEF la razón triplicada de lo que BC guarda con EF. [XII
17, Cor.]
Pero la esfera ABC también guarda con la esfera GHK la razón
triplicada de la que BC guarda con EF, entonces la esfera ABC es
a la esfera GHK como el sólido poliédrico inscrito
en la esfera ABC guarda con el sólido poliédrico inscrito
en la esfera DEF, y, por alternancia la esfera ABC es al poliedro
en ella como la esfera GHK es al sólido poliédrico
en la esfera DEF. [V 16].
Pero la esfera ABC es mayor que el poliedro inscrito en ella, entonces
la esfera GHK es también mayor que el poliedro inscrito en
la esfera DEF. [V 14].
Pero es también menor, porque está comprendida por
él. Entonces la esfera ABCD no guarda con una esfera menor
que la esfera DEF la razón triplicada de la que el diámetro
BC guarda con EF.
De manera semejante podemos demostrar que la esfera DEF tampoco
guarda con una esfera menor que la esfera ABC una razón triplicada
de la que EF guarda con BC.
Yo digo ahora que tampoco la esfera ABC guarda con una esfera mayor
que la esfera DEF una razón triplicada de la que BC guarda
con EF.
Porque, si fuera posible, guarde la razón con una mayor,
LMN. Entonces, por inversión, la esfera LMN guarda con la
esfera ABC la razón triplicada de lo que el diámetro
EF guarda con el diámetro BC.
Pero, dado que LMN es mayor que DEF, entonces la esfera LMN es a
la esfera ABC como la esfera DEF es a una esfera menor que la esfera
ABC, como ya ha sido demostrado. [XII 2 Lema].
Entonces la esfera DEF guarda también con una esfera menor
que la esfera ABC la razón triplicada de lo que EF guarda
con BC, lo cual ha sido demostrado como imposible.
Entonces la esfera ABC no guarda con ninguna esfera mayor que la
esfera DEF la razón triplicada de lo que BC guarda con EF.
Pero se ha demostrado que tampoco guarda la razón con una
esfera menor.
Entonces la esfera ABC guarda con la esfera DEF la razón
triplicada de lo que BC guarda con EF.
Entonces, las esferas son una a la otra en razón triplicada
de sus respectivos diámetros.
Q.E.D.
