Sean ABC y FGH los círculos, sean ABCDE y FGHKL los polígonos
semejantes inscritos en ellos, y sean BM y GN los diámetros
de los círculos.
Yo digo que el cuadrado de BM es al cuadrado de GN como el polígono
ABCDE es al polígono FGHKL.
Trazar BE, AM, GL y FN.
Ahora, dado que el polígono ABCDE es semejante al polígono
FGHKL, entonces el ángulo BAE es igual al ángulo GFL,
y BA es a AE como GF es a FL. [VI Def.1]. Dado que BAE y GFL son
dos triángulos en los cuales el ángulo de uno es igual
al ángulo del otro, el ángulo BAE es igual al ángulo
GFL, y los lados que comprenden ángulos proporcionales, entonces
el triángulo ABE es equiangular con el triángulo FGL.
Entonces el ángulo AEB es igual al ángulo FLG. [VI
6].
Pero el ángulo AEB es igual al ángulo AMB, porque
están sobre la misma circunferencia, y el ángulo FLG
es ingual al ángulo FNG, entonces el ángulo AMB es
también igual al ángulo FNG. [III 27].
Pero el ángulo recto BAM es también igual al ángulo
recto GFN, entonces el ángulo restante es igual al ángulo
restante. [III 31]. Entonces el triángulo ABM es equiangular
con el triángulo FGN.[I 32].
Por lo tanto, proporcionalmente BM es a GN como BA es a GF. [VI
4].
Pero la razón que el cuadrado de BM guarda con el cuadrado
de GN es la razón duplicada de la que BM guarda con GN, y
la razón que el polígono ABCDE guarda con el polígono
FGHKL es una razón duplicada de la que BA guarda con GF.
[VI 20].
Entonces el cuadrado de BM es al cuadrado de GN como el polígono
ABCDE es al polígono FGHKL.
Entonces, los polígonos semejantes inscritos en los círculos
son uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.
Q.E.D.
