Sean las pirámides de igual altura y base poligonal ABCDE
y FGHKL y vértices M y N.
Yo digo que la base ABCDE es a la base FGHKL como la pirámide
ABCDEM es a la pirámide FGHKLN.
Trazar AC, AD, FH y FK.
Dado que ABCM y ACDM son dos pirámides con la base triangular
y la misma altura, entonces son una a la otra como sus bases. Por
lo tanto la base ABC es a la base ACD como la pirámide ABCM
es a la pirámide ACDM. [XII.5]. Y, por composición,
la base ABCD es a la base ACD como la pirámide ABCDM es a
la pirámide ACDM. [V 18].
Pero la base ACD es a la base ADE como la pirámide ACDM es
a la pirámide ADEM. [XII 5].
Por lo tanto, ex aequali, la base ABCD es a la base ADE como
la pirámide ABCDM es a la pirámide ADEM. [V 22].
Y de nuevo, por composición, la base ABCDE es a la base ADE
como la pirámide ABCDEM es a la pirámide ADEM. De
manera similar también se puede demostrar que la base FGHKL
es a la base FGH como la pirámide FGHKLN es a la pirámide
FGHN. [V 18].
Y, dado que ADEM y FGHN son dos pirámides de base triangular
y la misma altura, entonces la base ADE es a la base FGH como la
pirámide ADEM es a la pirámide FGHN. [XII 5].
Pero la base ADE es a la base ABCDE como la pirámide ADEM
es a la pirámide ABCDEM. Por lo tanto, ex aequali,
la base ABCDE es a la base FGH como la pirámide ABCDEM es
a la pirámide FGHN. [V 22].
Pero además la base FGH es a la base FGHKL como la pirámide
FGHN es a la pirámide FGHKLN. Por lo tanto, también
ex aequali, la base ABCDE es a la base FGHKL como la pirámide
ABCDEM es a la pirámide FGHKLN. [V 22].
Por lo tanto, las pirámides de la misma altura y bases poligonales
son una a la otra como sus bases.
Q.E.D.
