Sea el prisma con base triangular ABD y el opuesto DEF.
Yo digo que el prisma ABCDEF se divide en tres pirámides
iguales una a otra que tienen bases triangulares.
Trazar BD, EC y CD.
Dado que ABED es un paralelogramo, y BD es el diámetro, entonces
el triángulo ABD es igual al triángulo EBD. [I 34].
Por lo tanto la pirámide con base triangular ABD y vértice
C es igual a la pirámide con base triangular DEB y vértice
C. [XII 5].
Pero la pirámide con base triangular DEB y vértice
C es idéntica a la pirámide con base triangular EBD
con vértice D, porque están contenidas por los mismos
planos.
Entonces la pirámide con base triangular ABD y vértice
C es también igual a la pirámide con base triangular
EBC y vértice D.
De nuevo, dado que FCBE es un paralelogramo, y CE es el diámetro,
entonces el triángulo CEF es igual al triángulo CBE.
[I 34].
Por lo tanto la pirámide con base triangular BCE y vértice
D es igual a la pirámide con base triangular ECF y vértice
D. [XII 5].
Pero la pirámide con base triangular BCE y vértice
D se ha demostrado que es igual a la pirámide con base triangular
ABD y vértice C, entonces la pirámide con base triangular
CEF y vértice D es igual a la pirámide con base triangular
ABD y vértice C. Entonces el prisma ABCDEF se ha dividido
en tres pirámides iguales una a otra que tienen bases triangulares.
Y, dado que la pirámide con base triangular ABD y vértice
C es idéntica a la pirámide con base triangular CAB
y vértice D, porque están contenidas por los mismos
plano, mientras la pirámide con base triangular ABD y vértice
C se ha demostrado que es un tercio del prisma con base triangular
ABC y el opuesto DEF, entonces la pirámide con base triangular
ABC y vértice D es un tercio del prisma con la misma base
ABC, y el opuesto DEF.
Por lo tanto, cualquier prisma con base triangular se divide en
tres pirámides iguales una a otra con bases triangulares.
COROLARIO
Desde este punto está claro que cualquier pirámide
es una tercera parte del prisma con la misma base y la misma altura.
Q.E.D.
