Sean las pirámides semejantes y situadas de igual manera
con bases triangulares ABC y DEF y vértices G y H.
Yo digo que la pirámide ABCG guarda con la pirámide
DEFH una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Complétense los paralepípedos sólidos BGML
y EHQP.
Ahora, dado que la pirámide ABCG es semejante a la pirámide
DEFH, entonces el ángulo ABC es igual al ángulo DEF,
el ángulo GBC es igual al ángulo HEF, el ángulo
ABG es igual al ángulo DEH, y AB es a DE como BC es a EF,
y como BG es a EH.
Y dado que AB es a DE como BC es a EF, y los lados que comprenden
ángulos iguales son proporcionales, entonces el paralelogramo
BM es semejante al paralelogramo EQ. Por la misma razón BN
es también semejante a ER, y BR semejante a EO.
Por lo tanto los tres paralelogramos MB, BK y BN son semejantes
a los tres paralelogramos EQ, EO y ER. Pero los tres paralelogramos
MB, BK y BN son iguales y semejantes a sus tres opuestos, y los
tres paralelogramos EQ, EO y ER son iguales y semejantes a sus tres
opuestos. [XI 24].
Entonces los sólidos BGML y EHQP están comprendidos
por planos semejantes e iguales en número. Por lo tanto el
sólido BGML es semejante al sólido EHQP.
Pero los sólidos paralepípedos guardan una razón
triplicada con sus lados correspondientes. Por lo tanto el sólido
BGML guarda con el sólido EHQP la razón triplicada
de la que el lado correspondiente BC guarda con el lado correspondiente
EF. [XI 33].
Pero el sólido BGML es a la pirámide EHQP como la
pirámide ABCG es a la pirámide DEFH, porque la pirámide
es una sexta parte del sólido ya que el prisma que es la
mitad del sólido paralepípedo es también el
triple de la pirámide. [XI.28]. Entonces la pirámide
ABCG guarda con la pirámide DEFH la razón triple de
lo que BC guarda con EF. [XII.7].
Q.E.D.
COROLARIO
A partir de esto queda claro que las pirámides semejantes
con bases poligonales guardan unas con otras la razón triplicada
de la de sus lados correspondientes.
Porque, si se dividen en las pirámides contenidas en ellas
que tienen bases triangulares, en virtud del hecho que los polígonos
semejantes que forman sus bases son también divididos en
triángulos semejantes iguales en cantidad y homólogos
a los polígonos enteros, entonces como una de las pirámides
con la base triangular de la primera pirámide completa es
a una de las pirámides con base triangular en la otra pirámide
completa así, todas las pirámides con base triangular
de la primera pirámide serán a las pirámides
con base triangular de la segunda pirámide, esto es, la propia
pirámide con la base poligonal es a la pirámide con
la base poligonal. [VI 20] [V 12].
Pero la pirámide con la base triangular guarda con la pirámide
con la base triangular una razón triplicada de la de sus
lados correspondientes, por lo tanto también la pirámide
con base poligonal guarda con la pirámide que tiene una base
semejante una razón triplicada de la que el lado guarda con
el lado.
