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PROPOSICIONES LIBRO XII

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Proposición 1. Los polígonos semejantes inscritos en círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

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Proposición 2. Los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

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Proposición 3. Toda pirámide que tenga como base un triángulo se divide en dos pirámides iguales, semejantes una a la otra y a la pirámide entera, que tienen triángulos como base, y se divide en dos prismas iguales; y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

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Proposición 4. Si hay dos pirámides de la misma altura que tienen triángulos como base, y cada una de ellas se divide en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces tal y como la base de una pirámide es a la base de la otra, entonces serán todos los prismas de una pirámide a todos los prismas iguales en número a la otra pirámide.

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Proposición 5. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen triángulos como base son entre sí como sus bases.

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Proposición 6. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen polígonos como base son una a la otra como sus bases.

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Proposición 7. Cualquier prisma que tenga como base un triángulo se divide en tres prismas iguales entre sí que tienen triángulos como base.

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Proposición 8. Las pirámides semejantes que tienen como base triángulos guardan una razón triplicada de la razón de sus lados correspondientes.

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Proposición 9. Las bases de las pirámides iguales que tienen como base triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas; y las pirámides que tienen como base triángulos, las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

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Proposición 10. Cualquier cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base y la misma altura.

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Proposición 11. Los conos y cilindros que tienen la misma altura son el uno al otro como sus bases.

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Proposición 12. Los conos y cilindros semejantes guardan uno a otro una razón triplicada de la que guardan los diámetros de sus bases.

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Proposición 13. Si un cilindro se corta por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, el cilindro es al cilindro como el eje es al eje.

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Proposición 14. Los conos y cilindros que están sobre bases iguales son uno al otro como sus alturas.

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Proposición 15. Las bases de los conos y cilindros iguales están inversamente relacionadas con las alturas, y aquellos conos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

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Proposición 16. Dados dos círculos con el mismo centro, inscribir en el círculo mayor un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque el círculo menor.

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Proposición 17. Dadas dos esferas con el mismo centro, inscribir en la esfera mayor un sólido poliédrico que no toque la superficie de la esfera menor.

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Proposición 18. Las esferas guardan una con otra la razón triplicada de la de sus respectivos diámetros.

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