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PROPOSICIÓN 13 LIBRO XIII Proposición 13. Construir una pirámide inscrita en una esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide. Pongamos el diámetro AB como esfera y cortemos por C de
tal manera que AC es el doble de CB, describamos el semicírculo
ADB de AB, dibujemos CD formando ángulos rectos con AB, y
dibujemos DA. [VI 9, I 11]. Pongamos el círculo EFG con radio
igual a DC, inscribimos el triángulo equilátero EFG
en el círculo EFG, tomamos el centro H del círculo,
y dibujamos EH, HF, y HG. [I 1, IV 2]. Levántese HK desde
el punto H formando ángulos rectos con el plano del círculo
EFG, quítese HK igual a la línea recta AC desde HK,
trácense KE, KF, y KG. [XI 12, I 3]. Ahora, como KH forma
ángulos rectos con el plano del círculo EFG, entonces
forma ángulos rectos con todas las líneas rectas y
están en el plano del círculo EFG. Pero cada una de
las rectas HE, HF y HG la toca, entonces HK forma ángulos
rectos con cada una de las rectas HE, HF, y HG. [XI Def. 3]. Y,
como AC es igual a HK, y CD es igual a HE, y comprenden ángulos
rectos, entonces la base DA es igual a la base KE. Por la misma
razón cada una de las rectas KF y KG son iguales a DA. Entonces
las tres líneas rectas KE, KF y KG son iguales entre sí.
[I 4]. Y, dado que AC es doble de CB, entonces AB es triple de BC.
Pero dado que AB es a BC como el cuadrado de AD es al cuadrado de
DC como se demostrará seguidamente. Entonces el cuadrado
de AD es el triple del cuadrado de DC. Pero el cuadrado de FE es
también el triple del cuadrado de EH, y DC es igual a EH,
entonces DA es también igual a EF. [XIII 12]. Pero ha sido
demostrado que DA es igual a cada una de las rectas KE, KF y KG,
entonces cada una de las líneas rectas EF, FG y GE son también
iguales a cada una de las líneas rectas KE, KF y KG. Entonces
los cuatro triángulos EFG, KEF, KFG y KEG son equiláteros.
Por lo tanto ha sido construida una pirámide con cuatro triángulos
equiláteros, el triángulo EFG empezando como base
y el punto K como vértice. El propósito siguiente
es comprenderla en la esfera dada y demostrar que el cuadrado del
diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado del
lado de la pirámide. Prolónguese la recta HL en línea
recta con KH, y hágase HL igual a CB. [I 3]. Ahora, dado
que AC es a CD como CD es a CB, mientras AC es igual a KH, CD igual
a HE y CB igual a HL, entonces KH es a HE como EH es a HL. Entonces
el rectángulo KH en HL es igual al cuadrado en EH. [VI 8,
Cor., VI 17]. Y cada uno de los ángulos KHE, EHL es recto,
entonces el semicírculo descrito en KL pasa a través
de E también. [VI 8, III 31]. Entonces si KL permaneciendo
fija, EHL es recto, el semicírculo se hace girar y se vuelve
a la misma posición de donde empezó a moverse, entonces
pasará a través de los puntos F y G, puesto que, si
FL y LG son trazadas, luego los ángulos en F y G resultan
ángulos rectos, y la pirámide queda comprendida en
la esfera dada. Para KL, el diámetro de la esfera, igual
al diámetro AB de la esfera dada, puesto que KH se ha hecho
igual a AC, y HL a CB. Yo digo además que el cuadrado del
diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado en el
lado de la pirámide. Puesto que AC es doble de CB, entonces
AB es triple de BC y, en la conversión, BA es una vez y media
AC. Pero BA es a AC como el cuadrado de BA es al cuadrado de AD.
Entonces el cuadrado de BA es también una vez y media el
cuadrado de AD. Y BA es el diámetro de la esfera dada, y
AD es igual al lado de la pirámide. Entonces el cuadrado
del diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado
del lado de la pirámide. Q.E.F.
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