Córtese la recta AB en extrema y media razón
por el punto C y sea AC el segmento mayor. Prolóngase la
recta AD en línea recta con CA y hágase AD igual a
la mitad de AB.
Yo digo que el cuadrado en CD es cinco veces el cuadrado AD.
Constrúyanse los cuadrados AE y DF en AB y DC e incríbase
la figura en DF y prolóngase FC hasta G.
Ahora, dado que AB ha sido cortado en extrema y media razón
en C, entonces el rectángulo comprendido por AB y BC es igual
al cuadrado AC. Y el rectángulo CE está comprendido
por AB y BC, y FH es el cuadrado de AC, entonces CE es igual a FH.
Y como BA es doble de AD, mientras BA es igual a KA, y AD es igual
a AH, entonces KA es también doble de AH.
Pero KA es a AH como CK es a CH, entonces CK es doble de CH. Pero
también de LH y HC es también doble de CH. Entonces
KC es igual a LH y HC. Pero se ha demostrado que CE también
es igual a HF; luego el cuadrado entero AE es igual al gnomon MNO.
Y, como BA es doble de AD, entonces el cuadrado de BA es cuádruple
del cuadrado de AD, es decir, AE es cuádruple de DH.
Pero AE es igual al gnomon MNO, entonces el gnomon MNO es también
cuádruple de AP. Entonces el cuadrado entero DF es cinco
veces AP.
Y DF es el cuadrado de DC, y AP el cuadrado de DP, por tanto el
cuadrado de CD es cinco veces el cuadrado de DA.
Por consiguiente, si una línea recta se corta en extrema
y media razón, entonces el cuadrado del segmento mayor añadido
al de la mitad de la recta es cinco veces el cuadrado de la mitad.
