Llibre I

Llibre I

Existeixen potser les línies indivisibles?.
I hi ha en totes les magnituts, en general,
alguna cosa sense parts, tal i com asseguren alguns?

I - II - III - IV - V

I - II - III - IV - V

I - II - III - IV - V - VI

I - II - III - IV - V - VI - VII - VIII - IX - X - XI

Així doncs, si es dona de manera semblant "molt" i "gran" i els oposats que són "poc" i "petit" i, per altra banda, el que té divisions gairebé infinites no és "poc", sinó "molt", és evident que "poc" i "petit" tindran divisions finites. I si les seves divisions són finites, és necessari que existeixi una magnitut sense parts, de manera que en totes les magnituts n´hi haurà alguna sense parts, donat que en totes hi ha "poc" i "petit".

A més a més, si existeix la idea de "línia" i la idea és la primera de les del seu nom i les "parts" són prèvies al "tot" per la seva naturalesa, aquesta línia seria indivisible, de la mateixa manera que el quadrat i el triangle i la resta de figures i, en general, el propi pla i el cos. Passaria que aquelles són previes a aquestes.

A més a més, si existeixen els elements d´un sòlid i no hi ha res previ als elements i les parts són prèvies al tot, el foc seria indivisible i, en general, ho seria cadascun dels elements del sòlid, de manera que existeix alguna cosa sense parts no només en els intel·ligibles sinó també en els sensibles.

A més a més, per altra banda, segons l´argument de Zenon, és necessari que existeixi una magnitut sense parts, si es que és impossible tocar en un temps finit un nombre infinit de coses tocades una per una; i és necessari que el que es mou arribi primer a la meitat; i del que té parts, sens dubte, n´existeix la meitat. En aquest cas, si el que és transportat sobre la línia també toca un nombre infinit de coses en un temps finit i el més rapid també aconsegueix més en el mateix temps i el moviment del pensament és el més rapid, aleshores el pensament tocaria un per un un nombre infinit de coses en un temps finit; d´aquesta manera, si en el pensament tocar les coses una per una és comptar, s´admet com a possible comptar l´infinit en un temps finit: i si això és impossible, existiria una línia indivisible.

A més a més, també a partir dels que asseguren els que s´ocupen de les matemàtiques existiria una línia indivisible, segons diuen; si "commensurables" (Elements, llibre X, definició 1) són les que es mesuren amb la mateixa mesura, són commensurables totes les que es mesuren, per tant existiria una longitut amb la qual totes són mesurades. I aquesta longitut per força ha de ser indivisible, ja que si fos divisible també les seves parts tindrien una mesura, de manera que són commensurables amb el tot. D´aquesta manera la seva meitat seria el doble d´una part. Però donat que això és impossible, seria una mesura indivisible.
Així, es componen d´elements sense parts tant les línies mesurades una sola vegada per aquesta mesura com totes les línies compostes de la mesura. El mateix passa amb el cas de les figures planes. Totes les compostes per rectes racionals (Elements, Llibre X, definició 3) seran commensurables entre si, de manera que al mesura d´aquestes no té parts. Però si una mesura es talla d´acord amb una línia fixada i determinada, aquesta línia no serà ni racional ni irracional -ni cap d´aquelles de les que s´ha parlat, com l´apòtoma o la binomial- sinó que ni tant sols per sí mateixes tindran característiques naturals; al contrari, seran entre sí racionals i irracionals.

índex

Ara bé, en primer lloc, no és necessari que el que admet divisions infinites no pugui ser "petit" i "poc". I de fet, anomenem "petit" l´espai, la magnitut i, en general al continu -fins i tot en els casos en els que convé el qualificatiu de "poc"- i malgrat això decidim que tenen infinites divisions.
     A més a més, si hi ha línies indivisibles en la longitut composta, "petit" es diu en relació amb aquestes indivisibles i en elles hi ha infinits punts. En tant que línia, admet una divisió per un punt, i de la mateixa manera per qualsevol altre punt. Per tant, qualsevol línia que no fos indivisible tindria infinites divisions. Algunes d´aquestes són petites. I les raons són infinites i és possible tallar qualsevol recta que no sigui indivisible segons la raó donada.
     A més a més, si el "gran" es compon de diferents coses petites, o bé "gran" no significarà res o bé "gran" consistirà en tenir divisions finites; de fet, de manera semblant el "sencer" té les divisions de les seves parts. Però és irracional que el "petit" tingui divisions finites i el "gran" infinites: això opinen.
     D´aquesta manera és evident que no s´anomenaria "gran" i "petit" per la raó de tenir divisions finites o infinites. I si algú es creu que perquè en els nombres el "poc" té divisions finites, també tindrà les divisions finites a les línies el "petit", és que és tonto. De fet, en el cas dels nombres sencers, l´origen prové de coses sense parts i existeix alguna cosa que és el principi dels nombres; i tot el que no és infinit té divisions finites. Però en el cas de les magnituts no és el mateix.

Per altra banda, els que proposen que les línies indivisibles estàn a les Idees, prenen potser com a axioma del precedent l´argument menys valuós, a saber: suposar que existeixen Idees d´aquestes coses: i, en certa manera, anul·len el raonament mitjançant allò que demostren. I és que amb aquests raonaments s´anul·len les Idees.

A la vegada, és estrany considerar que el que no té parts es troba entre els elements corporis. Encara que alguns demostrin que és així, utilitzen com a argument per a la investigació proposada el mateix que prenen com a principi. I sobretot, que quan més sembla que utilitzen el principi, més sembla que el cos i la longitut són divisibles en volums i en longituts.

I el raonament de Zenon no prova que en un temps finit el que es mou toqui infinites coses així, en aquest sentit. Doncs infinit i finit es diuen del temps i de la longitut i tenen les mateixes divisions.
I a la vegada, el fet de que el pensament toqui una per una les infinites coses no és comptar, si és que algú creu que el pensament toca així les infinites coses, la qual cosa és potser impossible, doncs el moviment del pensament no transcorre, com el de les coses mogudes, entre subjectes continus.
I si, de fet, passa que es mou així, això no és comptar, ja que comptar s´acompanya de pauses. Però potser és irracional que es sotmetin a la seva debilitat els qui no han tingut força per resoldre el raonament i s´enganyin a si mateixos amb enganys més grans que reforcen la seva incapacitat.

Pel que fa a les línies commensurables, el fet que totes siguin mesurades per una certa i única mesura és un argument completament sofístic i totalment en contra de les hipòtesis matemàtiques, que ni plantegen aquesta hipòtesis ni tampoc els és útil. A la vegada, és contradictori fins i tot, pensar que qualsevol recta és commensurable i que existeix una mesura comuna a totes les commensurables.
De manera que és ridícul, després de dir que es demostraran les opinions dels matemàtics i els fonaments en els quals es basen, desviar el discurs cap a allò erístic i sofístic i de manera tan dèbil. I és dèbil en molts sentits tant per escapar de les paradoxes com de les refutacions.
A més a més, per un costat seria irracional que per causa de l´argument de Zenon, que estableix que algunes línies són indivisibles, ens desviéssim del raonament correcte per no poder argumentar en contra. Per altra banda, és fàcil deixar-se seduir per l´argument del moviment de la recta que genera un semicercle, que és necessari si arriba fins als punts infinits que hi ha entre els arcs i els radis; i el mateix passa quan genera un cercle, perquè per força ha de moure´s d´un punt a un altre si es mou seguint el semicercle; i pels altres teoremes que s´han estudiat en relació a les línies, que no és possible admetre que existeix un moviment semblant si no cau primer sobre cadascún dels punts intermitjos. De fet, aquests arguments són més acceptables que el primer.

De manera que, a partir dels raonaments expressats, és evident que no és necessària ni creïble l´existència de rectes indivisibles. I amb els arguments que ara s´exposen encara serà més evident. En primer lloc, pel que demostren i proposen els tractats matemàtics ja que, o bé s´admeten els raonaments o es rebaten amb arguments convincents.

I és que ni la definició de "línia" ni de "recta" concordaran amb la definició d´"indivisible" ja que no es troba ni entre "res" ni té "meitat". (Elements, Llibre I, definició 3)

A més a més, totes les línies seran commensurables ja que totes seran mesurades per les indivisibles, tant les commensurables en longitut com les commensurables en quadrat (Elements, Llibre X, definició 3). I les indivisibles seran totes les commensurables en longitut, donat que són iguals; de manera que també seran commensurables en quadrat. I si és així, el quadrat serà sempre racional.

A més a més, si la recta aplicada a la major produeix determinada amplada el paralel·logram igual al quadrat de l´indivisible -agafem com a tal una recta d´un peu de llarg- aplicat al doble d´aquesta recta, produïrà una amplada menor que l´indivisible; aleshores aquesta amplada serà menor que l´indivisible.

A més a més, si un triangle està compost per tres rectes donades, també es compondrà d´indivisibles. Però en tot equilàter la perpendicular cau sobre un punt mig, de tal manera que també cau sobre el punt mig de l´indivisible.

A més a més, si existeix el quadrat de les indivisibles, dibuixada la diagonal i la perpendicular a elles, el quadrat que tingui per costat una recta indivisible, serà igual al quadrat que tingui per costat la perpendicular més la meitat de la diagonal, de manera que no és la recta més petita possible.

I tampoc l´àrea del quadrat de la diagonal serà el doble del quadrat de l´indivisible. Doncs una vegada restada la part igual, la recta que queda serà menor que l´indivisible; i si fos igual, la diagonal hauria donat de resultat un quadrat que seria el quadruple.
Es podrien reunir moltes altres objeccions semblants ja que la teoria de l´existència de les línies indivisibles s´oposa a tot el que hi ha a les obres matemàtiques.

Al mateix temps, l´indivisible té una forma de contacte, mentre que la línia en té dues, ja que la línia pot estar en contacte tota ella amb una altra línia sencera i amb els extrems oposats.

A més a més, una línia indivisible afegida a una línia no fa que la línia sigui major ja que les coses indivisibles afegides no fan una cosa major.

A més a més, si a partir de dues indivisibles no sorgeix cap continu ja que tot allò continu admet múltiples divisions i tota la línia és contínua excepte l´indivisible, no existiria la línia indivisible.

A més a més, si qualsevol línia excepte l´indivisible es pot dividir en parts iguals i desiguals, encara que hi hagués una línia composta de tres indivisibles i, en general, d´un nombre imparell d´indivisibles, l´indivisible seria divisible. I al mateix temps passa si es talla en parts iguals. Ja que es pot tallar qualsevol línia composta d´un nombre imparell d´indivisibles.
Però si no es pot tallar qualsevol línia per la meitat , tan sols la composta per un nombre parell d´indivisibles i també si és possible tallar un nombre qualsevol de vegades la línia tallada per la meitat, de la mateixa manera quedarà dividida l´indivisible, quan es divideixi en parts iguals la línia composta d´un nombre parell d´indivisibles.

Al mateix temps, si el que es mou recorre el trajecte complet en un temps determinat, recorrerà la meitat de la meitat i en un temps menor, menys de la meitat, de manera que si la magnitut està composta per un nombre imparell de vegades, es repetirà el tall mig de les indivisibles, si és que, en la meitat de temps va a recorre la meitat del trajecte; així, el temps i la línia quedaran tallats de manera semblant. De manera que cap de les línies compostes quedarà tallada en parts iguals i desiguals. I si aquestes línies són tallades de manera semblant als temps, no seran línies indivisibles. La característica d´aquest argument és, com ja s´ha dit, fer que totes aquestes coses, espai i temps, estiguin compostes d´indivisibles.

A més a més, tota aquella que no sigui infinita té dos extrems que limiten la línia. (Elements , Llibre I, definició 3). Però l´indivisible no és infinita, així que tindrà dos extrems: aleshores és divisible, ja que una cosa és l´extrem i l´altra allò del que és extrem. O hi haurà a part d´aquestes, una línia que no sigui ni finita ni infinita.

A més a més, no hi haurà un punt a qualsevol línia: ni molt menys a l´indivisible no n´hi haurà. Si només n´hi ha un, la línia serà un punt i si n´hi ha més, la línia serà divisible. Per tant, si en l´indivisible no hi ha un punt, tampoc n´hi haurà, en absolut, a la línia. Ja que les altres es composen d´indivisibles.

A més a més, o no hi haurà res entremig dels punts o hi haurà una línia. I si entremig hi ha una línia, com que en totes les línies hi ha molts punts, la línia no serà indivisible.

A més a més, no existirà el quadrat d´una línia qualsevol, ja que tindrà longitut i amplada de manera que serà divisible ja que una cosa i l´altra són magnituts. I si el quadrat és divisible, també ho serà la línia.

A més a més, l´extrem de la línia serà una línia, però no un punt, ja que l´últim és l´extrem, però l´últim és la línia indivisible. I si l´extrem és un punt, el punt serà l´extrem de la línia indivisible i hi haurà una línia major que una altra línia en un punt; però si el punt està dins de la línia indivisible, pel fet de ser extrem comú de les línies que es continuen, existirà l´extrem d´allò que no té parts. I aleshores, en general, en què difereix el punt de la línia? Doncs la línia indivisible no tindrà res propi davant del punt excepte el nom.

A més a més, de manera semblant, també el pla i el volum seràn indivisibles. Essent l´un indivisible, es seguirà també la resta, pel fet de dividir-se l´un respecte de l´altre. Però el volum no és indivisible, ja que hi existeix profunditat i amplada; aleshores tampoc serà indivisible la línia ja que el volum és divisible en plans i els plans en línies.
I donat que els raonaments mitjançant els quals volen convéncer són dèbils i falsos, i les seves opinions són contràries a tots els arguments actuals que mereixen crèdit, és evident que no existiria una línia indivisible.

© Copyright 2006 JDL